ABCD矩阵(ABCD matrix)

定义：一个2*2矩阵，用来描述光学元件对激光光束的作用。

ABCD矩阵或者光线传输矩阵是一个2*2矩阵，是描述某一光学元件在激光光束中的作用。可以用于光线光学，其中光以几何的射线传输，或者在高斯光束传输时可以用到。ABCD矩阵计算时通常需要采用傍轴近似，也就是光束角度或者发散角在计算过程中是非常小的。 

目录

1. 光线光学
2. 高斯光束的传输
3. 重要光学元件的ABCD矩阵
4. 多个光学元件的结合
5. 典型应用

光线光学 

最初，为了计算横向偏移为 r，偏移角为θ 的几何光束的传输发展了这一概念。当角度很小时（参阅傍轴近似），在经过光学元件之前与之后，坐标r和θ 之间具有线性关系。下面的矩阵方程可以用来计算该光学元件对参数的改变情况： 

其中加引号的量（方程左侧）代表光束经过光学元件后的坐标值。ABCD矩阵是每一光学元件的特征量。 

例如，焦距为f的薄透镜的ABCD矩阵为： 

这表明偏移r 是不变的，而偏移角θ 的变化正比于r。 

在自由空间中传输d 距离，用矩阵表示为： 

表明偏移角不变，而偏移r根据角度会增大或者减小。 

下面有更多关于ABCD矩阵的例子。 

光束在电介质中传输时，可以采用一个更方便的修正后的光束矢量，即将角度变为其与折射率的乘积。这在有些情况下可以简化矩阵。 

高斯光束的传输 

ABCD矩阵可用来计算光学元件对高斯光束参数的影响。为了简化计算需引入参数q，包含了光束半径 w和波前的曲率半径R的信息： 

下面的方程表示参数q经过光学元件后的变化： 

重要光学元件的ABCD矩阵 

下面给出一些常用光学元件的ABCD矩阵。 

空气中传输距离d后： 

（如果在透明介质中传输，长度需要除以折射率，如果采用以上提到的修正的定义，那么下面的成分，也就是角度，需要乘以折射率。） 

焦距为f的透镜（f大于0代表会聚透镜）： 

弯曲半径为R的镜子（>0代表凹透镜），水平面上的入射角为θ： 

其中Re = R cos θ 是在切平面上（水平方向），而矢状面（竖直方向）则有Re = R / cos θ。 

管： 

其中径向变化的折射率为： 

许多教科书中给出了很多其它光学元件的ABCD矩阵。 

多个光学元件的结合 

当光束通过几个光学元件后（包含其间的空气），这表明矢量 (r θ) 需要乘以多个矩阵。可以将这些单个矩阵的乘积用另一个矩阵表示。一定要注意的是，第一个透过的光学元件的矩阵是处于矩阵乘积的最右侧。 

典型应用 

ABCD矩阵算法的一些典型应用包括： 

• 很多时候需要研究激光光束通过一些光学装置后的情况。光纤的几何路径和光束半径的演化都可以通过这种算法计算出来。 
• 光束在谐振腔中循环一周后参数的变化也可以由ABCD矩阵描述。横向的谐振腔模式可以通过矩阵元素得到。 
• 一种扩展的算法采用了ABCDEF矩阵（3*3矩阵，其中包含一些常数），它可以用来计算激光器谐振腔的校准灵敏度。 

注意不要将ABCD矩阵与计算多层介质膜的反射和透射性质的矩阵相混淆。