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Oct, Sun, 2023
透镜(lenses)
是一种透明光学器件，会影响光的波前曲率。
图1：透镜的聚焦和散焦。
光学透镜包含一个透明介质，其中光从一侧进入，从另一侧出来。透镜的作用就是改变光的波前曲率，即将光聚焦或者散焦。例如：
- 一束波前约为平面的准直光束转化成波前是弯曲的，光束聚焦到焦点。这时透镜是作为聚焦透镜，如图1(a)。
- 与上面相同的透镜也可以将发散光束转化成准直光束，这时透镜即是作为准直透镜。图1(a)中假设光束是从右侧入射的即可。
- 具有凹面的透镜可以使准直或者会聚光束变成发散光束，如图1(b)所示。这一透镜也可以用于将本来发散的光束变成准直光束。
尽管通常将光束半径的变化看做透镜方程，但是透镜的基本方程实际上是波前曲率的变化，因为波前曲率的变化引起光经过透镜后光束半径的变化。（能量传播方向通常垂直于波前的方向）如图2演示的情况。
图2：聚焦透镜的波前曲率变化。红色和蓝色代表某一时刻电场的强度和正负。假设的波长远大于实际的波长。
目录
- 波前变化的物理根源
- 焦距
- Lensmaker方程
- 薄透镜和厚透镜
- 透镜方程
- 双凸平凸双凹平凹的和弯月形透镜
- 柱面镜和像散透镜
- 透镜引起的像散
- 非球面透镜
- 消色差透镜
- 透镜表面涂层
- 光学透镜的应用
波前变化的物理根源
大多数透镜引起的波前变化都来源于表面的曲率。图2中为典型的双凸透镜（具有两个凸表面），经过透镜光轴附近的光的相位延迟大于两边的光的相位延迟。因为透镜材料的折射率比附近介质（通常为空气）的大。相位的径向变化也代表了波前曲率的变化。
另一个物理解释是透镜表面的折射。尤其是厚透镜，采用折射理论计算比采用径向变化相位延迟得到的结果更准确，后者忽略了透镜内光束尺寸的变化。
还存在渐变折射率透镜（GRIN透镜），也就是透镜材料中折射率是变化的。对于聚焦GRIN透镜，折射率在中心是最高的，两边逐渐减小，而随着径向位置变大，折射率变化近似为抛物线形。GRIN透镜的表面通常是平的，类似于普通的盘子或者圆柱。
焦距
当准直光束射向透镜时，聚焦透镜的焦距f是透镜与其后的焦点之间的距离（如图1(a)）。而对于散焦透镜，焦距是负值，是透镜与实焦点距离加符号（见图1(b)）。
透镜的屈光本领（或者聚焦功率）是焦距的倒数。
通常用在激光器技术中的透镜的焦距在10mm到几米之间。小的非球面透镜很容易达到几毫米，有时能到1mm以下。
Lensmaker方程
下面的方程称为Lensmaker’s方程，通过该方程可以计算出透镜材料折射率为n，两表面曲率半径分别为R1和R2的透镜的焦距：
凸面的曲率半径为正值，而凹面的曲率半径则是负值。后面一项只有在两表面曲率半径都很大的厚透镜情况下需要考虑。该方程在傍轴光线情况下是成立的，并且假设周围介质的折射率接近于1（空气）。
书面上存在不同的符号规则。例如，一个常用的规则是如果表面是凹面，那么第二个表面的半径认为是正的。这和上面用的符号规则是相反的。
薄透镜和厚透镜
在许多实际情形下，透镜非常薄，所以可以认为其光束半径是透镜内是不变的。小的面曲率（即曲率半径很大）透镜满足这种条件。Lensmaker’s方程中的第三项可以忽略不计，这时可以得到简单的薄透镜方程。
当需要很高的聚焦功率时，需要采用厚透镜。透镜的厚度d（轴向两透镜表面之间的距离）对焦距影响很大，从lensmake’s方程中就可以看出来。厚透镜位置及焦距的定义都不是很明确，至少当透镜是非对称的情况下定义是不明确的。
厚透镜与薄透镜的区别在于计算时采用的近似不同。
透镜方程
图3：透镜方程示意图。
当发散光束射向聚焦透镜时，透镜到焦点的距离会比焦距f大（见图3）。可由透镜方程计算：
其中a为光束的初始焦点与透镜之间的距离。这表明，当a >> f时，b ≈ f，而其它情况下b > f。以上关系可以这样理解：需要的聚焦功率1 / a来使入射光束准直（即消除光束发散角），因此只需1 / f − 1 / a的功率用来聚焦。
当a ≤ f时，以上方程是不成立的，因此透镜不能使光束聚焦。
当傍轴近似满足时，即与光轴间的夹角比较小，透镜方程也适用于射线。
== 数值孔径和透镜的光圈数 ==（f数） 透镜数值孔径（NA）的定义为焦点处的边缘光纤角的正弦值与入射光束产生的介质的折射率的乘积。透镜的NA（不是焦距）会限制光束束腰的大小。储存介质的播放器和录音机的透镜需要很大的数值孔径（0.5-0.9），例如CDs，DVDs，蓝光光盘等。
使小孔径的激光光束准直需要高数值孔径透镜。例如，低功率单模激光二极管发出来的光即是这种情况。当采用透镜的数值孔径很低时，得到的准直光束会存在畸变或者甚至被截断。
很显然的，如果高NA透镜的焦距很大，那么透镜的尺寸会比较大。
定义的透镜的数值孔径可能会比几何上采用开放光圈的透镜要小，因为边缘区域会产生附加的像差。
照相机中透镜的光圈数（f数）是很明确的。例如，f/4透镜是指开放光圈的直径是焦距的四分之一。（这里的f是指光圈书，而不是焦距！）加入透镜的边缘也被利用，那么数值孔径约为sin(1 / 4) ≈ 0.247，实际中会比该值略小。
双凸，平凸，双凹，平凹的和弯月形透镜
以上给出的透镜都是双凸透镜，即两面都是凸面。平凸透镜是一面为平面，另一面为凸面。也可以制作两面曲率半径不同的双凹透镜。类似的，散焦透镜为双凹透镜或者平凹透镜。
图4：不同类型的光透镜。
根据lensmaker’s方程，可以通过不同的透镜设计来得到不同的屈光本领。但是，不同的透镜设计的像差也不同。将一个小点成像为另一个相同大小的光点时，最好采用对称的双凸透镜。而非对称应用中，例如，将准直光束聚焦或者使强发散的光束准直的情况下，采用平凸透镜更适合。需要将透镜旋转使曲面位于准直光束的一侧。透镜的两表面都对聚焦过程有作用。
弯月形透镜是凹凸的，即透镜一面为凹面另一面为凸面。两个表面对屈光本领的贡献是相等的；透镜的焦距可以是正的（聚焦）或者负的（散焦）。弯月形透镜通常用作物镜的矫正镜片；它们的主要作用是矫正像差。也可用作照明系统的聚光器。
双合透镜是将两个透镜粘在一起，两透镜的材料不同。最常见的消色差双合透镜。
柱面镜和像散透镜
透镜表面的曲率可以仅在水平方向存在，而在数值方向无曲率。柱面镜只在水平方向上使光聚焦或者散焦，不会影响其数值方向上的波前曲率。
柱面镜可以得到椭圆形的光束焦点，或者用来产生或者补偿光束或者光学系统的像散，相对比较难制作。
如果在两方向上都有曲率，但是曲率大小不同，就得到了像散透镜。可以用来纠正光源的像散。
透镜引起的像散
透镜会产生各种类型的像散：
- 大多数透镜的表面为球形的，仅仅因为这是最容易制作的形状。但是，球形表面并不是理想的，这就会引起像散（尤其是边缘区域）或者使激光光束质量下降。这称为球面像差。非球面透镜可以极大减小球面像差。
- 当准直光束以与透镜对称轴有一定夹角的方向入射到透镜上，得到的焦点会产生变形。这种像差称为慧差。可以调整两个曲率半径来使其最小化。
- 透镜材料的色散(chromatic dispersion)会引起色差。直接的结果为焦距与波长有关，因此光不能很好的被聚焦：因为不同波长成分的焦点在不同位置。消色差透镜的色差极大的减小。
- 当入射到透镜上激光光束的光束半径非常大时，光束截面会在透镜边缘处被截断。这回产生很大的光束畸变。这种孔衍射也会在成像应用中出现；透镜有限的大小会限制光学系统的成像分辨率。但是如果光学元件和设计并不具有非常高的质量时，像的质量不受衍射效应的限制。
像差可以通过采用不同透镜的组合来极大的减小。这也是为什么物镜通常包含多个透镜。
非球面透镜
尽管可以采用不同透镜的合理组合能极大的补偿球面像差，但是有时采用非球面透镜更好，其表面不是球形的。这样只采用一个透镜就能得到很高的成像质量（低球面像差）。但是，非球面透镜更难制作，因此比较昂贵。
消色差透镜
最常用的得到消色差透镜（色差被极大减小的透镜）的方法是将两个透镜（材料不同）放在一起（见图4右）。例如，可以将双凸的低折射率的冕牌玻璃与平凹的高折射率燧石玻璃结合起来得到消色差双合透镜。粘合层的曲率半径需要计算得到最小色散，并且需要严格相等。
透镜表面涂层
许多透镜表面具有抗反射涂层，这回极大减小表面折射率变化引起的反射。这只在特定波长范围内才会起作用。需要在高抗反射率和宽工作带宽之间权衡。
存在耐磨涂层使透镜更加耐磨。
光学透镜的应用
透镜的应用是多用途的：
- 单个透镜通常用作矫正眼镜，可以在一定程度上补偿视觉障碍。
- 单个透镜也可以用来放大像，通常会选择多个透镜的组合。例如，照相物镜，显微镜物镜和透镜物镜。
- 在激光器技术中，通常采用透镜使激光光束聚焦或准直。尤其是大衍射极限光束采用高NA透镜聚焦时，得到的焦点尺寸非常小（束腰半径可能小于1微米）。
- 透镜还可以用在激光器谐振腔中产生模式，当然更常用的是曲面镜。由于与曲面镜相比，透镜的缺点是其反射损耗和色差。但是，它们能产生紧聚焦，并且无像散。这在采用透镜来聚焦超短脉冲时非常重要。