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MTF的理解

光学传递函数（OTF）包括调制传递函数（MTF）和相位传递函数（PTF）两部分，其中MTF代表物像频谱对比度之比，表明各种频率传递情况，PTF代表目标物经过光学系统成像后相位的变化。

对于镜头成像质量影响最大的是镜头的分辨率和对比度，两者是鱼和熊掌的关系，提高其一必将降低其二。分辨率和对比度又是一个不可分割的整体，对于一系列的黑白条纹，真正能够分辨开他们的是对比度。假如将黑线变亮而白线变暗，最终将不能再分清线条的存在。换句话说，如果在一张白纸上画一根白线的话，是根本无法分辨的。因为没有任何的分辨率可言。因此，去除了对比度而单独讨论分辨率是没有意义的。

MTF解释了镜头的分辨率和对比度之间复杂的关系，它直接、定量、客观地表述了光学系统的成像质量，是目前公认的分析镜头解像能力比较科学的方法。如图1所示，为典型镜头的MTF曲线，一个理想的镜头能够将通过它的光线100%的传递过去，但是，理想的镜头是不存在的，对于实际镜头，损耗永远是存在的。当从对比度的角度来衡量这种损耗时，它被称为对比度调制度，当测得不同空间频率上的调制度后（比如0-100lp/mm），便得到了镜头的MTF曲线。

图1 典型镜头的MTF曲线图
 

MTF曲线在低空间频率处（如5或10lp/mm）的读数代表了该镜头的对比度传递性能；在较高（如40lp/mm）或更高空间频率处的读数代表了镜头的锐度性能，即分辨能力。MTF测量原理

目前像质评价的方法有很多，主要的有星点检验、分辨率测量、阴影法、光学传递函数测量等等。MTF测量法作为评定光学系统成像质量的一种方法，不像目视星点检测和分辨率测量法，测量结果很大程度上取决于观察者的分辨差异，MTF测量法能给出定量的判断；而且，在相同的测试条件下，镜头的MTF可以与设计的MTF或其他仪器测量得到的MTF进行对比，故应用广泛。

光学传递函数的基本理论

MTF的测量是基于传递函数的定义，因此，首先我们先来回顾一下光学传递函数的基本含义。

用一个与位置有关的函数h(x,y)来表示脉冲响应的光强分布，用“*”表示成像过程的卷积操作，则一个理想输入f(x,y)经过光学系统成像后在像面的强度分布g(x,y)可以表示成：
 

对上式两端分别进行二维傅里叶变换，将空域中的信息转换为频域信息，有

H()

上式中，，H()分别是，的傅里叶变换，是频域中沿两个坐标方向的空间频率。函数H()就是光学传递函数（OTF），反映了光学系统对各个频率的传递量。

OTF是一个包括实数和虚数两部分的复变函数，可以写成

其中，实数部分即为调制传递函数MTF，而指数部分为相位传递函数。

以上关系，可以用图3简化表示：
 

图2 成像系统输入和输出与光学传递函数的关系

点光源

点扩展函数PSF、线扩展函数LSP、边缘扩展函数ESP是与MTF密切相关的几个重要概念，分别对应测试系统采用点光源、狭缝光源、刃边光源，常用的MTF测试方法也是基于这几个函数之间的关系进行计算。

当测试光源为点光源时，一个理想的点光源可以看成在x和y方向上无限小的物体，其能量分布用二维脉冲函数δ(x,y)表示，理想点光源经过光学系统后，由于衍射的限制，所成的像不再是一个理想的点，而是一个弥散斑，称之为星点像。星点像的光强分布即是光学系统的脉冲响应，也就是点扩散函数PSF(x,y)，如图3所示。根据上述光学传递函数的基本理论，点扩散函数PSF的傅里叶变换即为光学传递函数OTF，即

图3 点光源成像过程
 

狭缝光源

PSF是表征成像系统最有用的特征，也是获取MTF的一种方法，而且一次测试可以同时得到子午和弧矢两个方向的MTF。但在实际应用中，由于点光源提供的能量较弱，而且得到理想的点光源比较困难，进行二维光学传递函数计算较为繁琐，所以很少应用。

常用的方法是利用狭缝像替代星点像，从而获得线扩散函数及其一维方向上的光学传递函数。如图4所示，狭缝光源可以看成是多个不相干的点光源沿y方向排列而成，狭缝光源可以看成y方向为常量，以x为变量的delta函数，可以表示为

图4 狭缝光源

与点光源类似，狭缝光源通过光学系统成像后，亮度是往两侧散开的，其散开情况取决于成像系统的点扩散情况，线光源上的每个点在像平面产生一个PSF，这些线排列的PSF在单一方向叠加形成了线扩展函数LSF(x)，即狭缝像的光强分布，
 

根据系统的线性叠加原理，y为常量的卷积等价于沿x方向的积分，因此，
 

由傅里叶变换的卷积定理可以得到一维光学传递函数

刃边光源

如果在某些条件下狭缝提供的能量还是不够，那么就需要用到刃边作为光源体，其经过光学系统的二维像光强分布就是边缘扩散函数ESF，可以理解成刃边光源上每条透光带在像的位置产生一个LSF，所有经过唯一的LSF在水平方向互相交叠，累积形成ESF。要从ESF获得MTF，必先对ESF求导得到LSF，

然后由LSF经过傅里叶变换得到MTF。

可以将PSF、LSF、ESF和MTF四者之间的关系用下图概括。
 

图5  PSF、LSF、ESF和MTF四者之间的关系MTF测量仪光路

下图为典型的MTF测试系统，主要包括光源、基于离轴抛物面反射镜设计的平行光管、目标物（点、狭缝、刃边）、被测系统、大数值孔径的平场复消色差显微镜、CCD及图像处理系统、运动导轨及控制系统等。

图6  典型MTF测试系统图
 

以点光源为例，点源目标经过被测透镜后形成艾里斑，由于点光源成像后的图像非常小，如果采用CCD直接采集点光源的成像，不利于图像的分析处理，会降低系统的测试精度。因此，在CCD采集图像之前，利用大数值孔径平场复消色差显微物镜将光斑放大汇聚在CCD上。通过图像采集卡将图像传至计算机，形成数字图像。图像处理系统读取图像沿艾里斑直径方向上像素点的灰度值，可以将每行像素点的灰度值数据作为所测得的光通量，用得到的光强分布结果求解光学传递函数。MTF测量仪产品

联合光科可为您提供德国TRIOPTICS GmbH公司设计的Image Master®系列光学传递函数测量仪可测量绝大多数光学元件、光学镜头和光学系统中所提到的参数。以Image Master®HR MTF测量仪为例，Image Master®HR是Image Master®光学传递函数测量仪系列产品中的高端产品。

图6  Image Master® HR系统结构示意图
 

Image Master® HRMTF测量仪主要结构如图6所示，采用立式结构设计，整体结构紧凑一体化，维护保养方便，特别适于手机镜头、数码相机镜头、车载镜头、CCTV镜头等小口径透镜或镜头小批量、高精度的研发和量产应用。可测量光学参数包括镜头的有效焦距EFL，轴上光学传递函数MTF，轴外光学传递函数MTF，离焦光学传递函数MTF，相位传递函数PTF，畸变，色差，像散，视场角，相对透过率，线扩散函数LSF，主光束角度，相对照度和场曲等。

ImageMaster® HR MTF测量仪主要参数如下：
 

表1  ImageMaster® HR MTF测量仪参数表

根据用户在不同场景的需求，可选配不同的测量模块，也可分为研发型，紧凑型，红外光学测量仪，高精度温控型，工业型，多视场型，VR镜头光学参数测量仪。

通过优异的疫情防控，中国正在从新冠疫情中快速恢复，随着疫苗接种工作的持续推进，张文宏医生表示：或许明年大家就可以摘下口罩了。新冠疫苗的接种，俨然成了大国竞赛的核心项目。除了疫苗研发难度大，疫苗的储存运输都需要用到一种特殊材质的玻璃——中硼硅玻璃，而全球超过四分之三的中硼硅玻璃疫苗瓶，都来自于一家叫肖特（SCHOTT）的德国公司。

       一百多年前，这家公司把“做玻璃”从一种工艺，提升到了科学的高度。当我们期待疫苗能战胜疫情时，这家做特种玻璃的公司，值得我们去了解。说到肖特公司，就不得不提公司的创始人——现代玻璃材料科学之父奥托·肖特。
 

       
       那么肖特为什么要找阿贝教授呢？阿贝当时39岁已经是耶拿大学教授，担任耶拿天文台台长，业界著名的物理学家。阿贝提出的阿贝正弦学说能够大大改善透镜品质，但是当时没有合适的玻璃可以测试这个学说。并且阿贝当时与设在耶拿的蔡司工厂关系密切（1875年阿贝成为蔡司工厂的合伙人）。从主动写信给阿贝教授这件事上，我们不得不佩服肖特的积极进取精神和敏锐的商业嗅觉。

       阿贝的检测结果和回信鼓舞了肖特，后来肖特在玻璃熔体中系统地添加了各种当时所能得到的矿物元素，分别试验了磷酸玻璃，硼酸玻璃，硅酸玻璃和硼硅酸玻璃。在这过程中，阿贝提供理论指导，瞄准技术方向，肖特攻克工业化生产的难题。肖特于1882年1月移居耶拿，开始了与蔡司公司的深度合作。1885年7月，肖特、阿贝和蔡司父子在耶拿正式成立肖特及同伴玻璃技术实验室，后来发展为肖特及同伴玻璃厂以及今天的肖特股份公司（SCHOTT AG）。

       经过100多年的发展，肖特玻璃被广泛应用于包括生物疫苗的各行各业，在光学行业肖特玻璃更是应用到了激光光学，生物光学，机器视觉，计量光学等各个细分领域。使用肖特玻璃制作的光学元件更是高品质的代名词。联合光科也推出了使用肖特Zerodur，Borofloat材料制作的激光反射镜，具有更宽光谱范围、更大入射角度、更高反射率等特点，使其满足多种激光应用场合需求。

更多关于肖特Zerodur，Borofloat激光反射镜产品信息，请看产品分类激光反射镜

前文中提到的现代玻璃材料科学之父——奥托·肖特在蔡司面前其实是小辈。1840年代，卡尔·蔡司已经成为有名的透镜制作者，而这一时期肖特还没有出生。1851年出生的肖特和蔡司差着一代人的年纪，他们是如何从忘年交一步步发展成光学领域商业伙伴，这得从老大哥卡尔·蔡司说起。

       1816年9月11日，卡尔·蔡司出生于离耶拿不远的魏玛市。1838至1845年间，蔡司辗转于多个城市，边打工边学习，扩充自己在物理、数学和机械方面的知识。1845年他回到耶拿开办了一家机械作坊制作透镜，此即为今天蔡司公司的前身。

蔡司直到1847年才制造出一种只用单片透镜的简易型显微镜，但这批显微镜卖得不太好，毕竟蔡司先生30多岁了，也要买房买车养家养孩子，所以蔡司开始动脑筋研发新产品。1857年蔡司开发的新产品——复合式显微镜 Stand I 型上市，并在图林根工业展览会上获得金奖，被认为是德国最佳的科学仪器。Stand I 型大卖，蔡司也有了资金积累，这个时候蔡司认为要想从产品上继续突破，就要从显微成像的基础科学研究出发，消除诸如球差、像散和视野弯曲等光学缺陷。       早在18世纪，切斯特·穆尔·霍尔（Chester Moor Hall）发现燧石玻璃的色散明显大于冕牌玻璃，使用冕牌玻璃做凸透镜，燧石玻璃做凹透镜，并将两块透镜拼在一起。冕牌和燧石玻璃对不同波长光的折射率比例是不一样的（A、B、C分别对应于红、绿、蓝）。通过选择合适的拼接角度，可以将冕牌玻璃红和蓝两种边缘色散光重新完全会聚在一起，这种复合透镜就能在很大程度上消除色差，这就是早期的消色差透镜技术。

图：白光在a燧石玻璃和b冕牌玻璃中的色散情况



图：早期的消色差复合透镜

       时间到了1870年代，恩斯特·阿贝教授已经作为合伙人与蔡司一同专注于解决显微成像系统中消除色差和二级光谱问题（复消色差）。根据阿贝博士的理论研究，只有得到两种玻璃，色散不同但相对色散比例（A:B:C）相符时，才能消除“二级光谱”。这一时期蔡司公司已经能够制作出当时最优秀的透镜系统，但是要攻克二级光谱问题（复消色差）的瓶颈在于没有相匹配的光学玻璃材料。
 

       幸运的是，阿贝博士认识肖特，对！就是上文中提到的现代玻璃材料科学之父。肖特的重要突破是率先发明了硼硅酸盐玻璃，发现燧石玻璃中引入硼酸后，蓝紫区光谱收缩，使相对色散比例（A:B:C）与冕牌玻璃匹配，这种新型玻璃的出现铺平了通往高性能显微镜的道路。1886年，蔡司发布了全新的物镜系列——复消色差物镜（apochromatic objective），为现代高性能光学成像奠定了可靠的基础，具有里程碑的意义。
 

图：蔡司早期LOGO就是一个消色差复合透镜示意图
 

       这种复消色差物镜，在显微应用中有广阔的使用场景，目前能供应高品质长工作距离平场复消色差显微物镜（LWD M Plan Apo）的公司主要是Z家，M家和O家德日系光学企业，但货期较长。联合光科为业内客户准备了2X、10X、20X、50X、100X的长工作距离显微物镜，这些物镜被广泛应用到亮场工业检测、教育科研等领域，最关键的是有现货！有现货！有现货！
 

什么是非球面透镜
光学系统中最常用的球面透镜是指透镜表面是回转对称的球面表面，即从透镜的中心到边缘具有恒定的曲率。而非球面透镜则是透镜表面为回转对称的不是球面的表面，即符合特定表达式的回转对称的且表面是光滑连续的表面。

光学系统中采用的非球面有三大类：第一类是轴对称非球面，如回转圆锥曲面、回转高次曲面；第二类是具有两个对称面的非球面，如柱面、复曲面；第三类是没有对称性的自由曲面。

    

图1  （左）非球面透镜示意图  （右）非球面透镜

最常用的非球面表达式是一个圆锥曲面作为基准面再迭加一系列的高次多项式构成，表达式为：

如图1所示，式中r为离非球面轴的径向距离，z为相应的垂直距离，c=1/R为顶点曲率，R为顶点曲率半径，k表示圆锥系数，为第n次非球面系数；如图2所示，不同值代表不同的圆锥曲线形式。

图2 不同的二次曲面系数对应的曲面类型

非球面透镜的优点

球面透镜无论是否存在任何的测量误差和制造误差，都会出现球差。而非球面透镜最显著的优点便是它能够通过对圆锥常数和非球面系数进行调整、优化，以最大限度地减小像差，如图3所示，展示了一个带有显著球差的球面透镜，和一个几乎没有任何球差的非球面透镜，相比而言，单片非球面透镜获得了更好的像质。

图3  （上）球面透镜球差示意图   （下）非球面透镜消球差
 

相比于常规的通过增加镜片数量来校正球差的方法，非球面透镜能够实现用更少的透镜数来实现更好的像差校正，例如，一般使用十个或更多透镜的变焦镜头，可以使用一两个非球面透镜来替换五六个球面透镜，实现相同或更高的光学效果，从而降低系统的长短和复杂性。

另外，使用更多的光学元件的光学系统，往往对机械公差有严格要求，且会增加额外的校准步骤，以及更多的增透膜要求，从而降低系统的整体实用性。因此，光学系统中非球面透镜的使用（虽然非球面透镜价格相比F数等同的单片透镜和双胶合透镜贵），将会降低整体系统的成本。

总的来说，光学系统中合理采用非球面透镜，在实现光学系统小型化、轻型化、多功能化等方面具有不可替代的地位。


非球面透镜在激光准直方面的应用

非球面透镜在光学系统中扮演着非常重要的角色。例如，我们接触到的最多的手机镜头、相机镜头、超短焦投影仪等，这类复杂系统中多是通过使用多片非球面和球面镜组合来对系统像差进行优化设计，没有形成标准化产品。

图4 非球面透镜在手机镜头和数码相机中的应用

非球面镜的另一类重要应用是在激光准直、聚焦、激光器与光纤耦合方面。从激光器中直接出来的光束通常为高斯光束，而实际应用中，如光学测量、激光医疗、激光加工等领域，需要对激光光束进行准直、聚焦、均匀化等整形。常规的通过球面透镜准直的方法，通常需要至少2片透镜。

由于激光是单波长的光源，球差往往是阻碍单个球面透镜聚焦或准直光时获得衍射极限性能的因素，而单片的非球面透镜对于球差的优化完美地解决这个问题，因此，常用于对光纤或激光二极管的输出光进行准直、将激光耦合到光纤中等。
 

图5  （上）非球面透镜激光准直示意 （下）将激光耦合到光纤中的应用

非球面透镜在用于激光准直时，平坦的表面即曲率半径较大的一面（有时为平面）应该朝向激光光源，如图6所示，假设光源发散角为θ，准直后所需光束直径为Φ，则可以计算出适于本系统的非球面透镜的焦距为：

其次，还应满足光源的数值孔径（NA）需小于非球面透镜的数值孔径（NA）。

例如，波长为650nm激光二极管，发射角度为30°，准直后光束直径为3mm，则所需非球面透镜焦距

，其次，激光二极管，根据以上数据，可从联合光科非球面透镜产品中挑选出编号为140175的产品满足准直要求。
 

图6  激光准直非球面透镜的参数确定

非球面透镜产品

在工业加工、光学测量、实验室研究等领域，常用的激光光源和光纤光源的波长、发散角、准直光束直径等参数是较为明确的，因此，联合光科也针对这些应用设计和生产了一系列性能优异的精密抛光的大直径非球面透镜和精密模压玻璃非球面透镜，在激光准直、聚焦、激光器与光纤耦合等领域有广泛应用。

​表1  联合光科非球面透镜产品

CC：小鹤，你说按照几何光学的定律，是不是我们通过适当的选择透镜的焦距就可以造出很大很大放大倍数的显微镜系统，将任何细小的物体放大到可以清晰观测的程度？
薛定谔的鹤：你想得美，大家都知道光学分辨率越高，系统的精度越高，科学实验获得的信息更精确。但恩斯特·阿贝博士早在19世纪70年代就给光学显微镜的分辨率安排了一个天花板。今天正好一起来学习解读一下这个分辨率极限公式吧。解读阿贝公式前，我们先了解几个概念： 

分辨率

可以将密集的点区分为单个的点的能力。
 

分辨率极限（最大分辨率）

可识别为不同点的最小间距。光学分辨率极限的判定，最早是由物理学家恩斯特阿贝博士在1873年发现，可判定任何光学成像的分辨率理论极限。艾里斑

凸透镜能将入射光聚焦到它的焦点上，但由于透镜口径有一定大小，光线透过时会由于波动特性会发生衍射，无法将光线聚成无限小的焦点上，而只会形成一定能量分布的光斑。中央是明亮的圆斑，周围有一组较弱的明暗相间的同心环状条纹，把其中以第一暗环为界限的中央亮斑称为艾里斑（Airy Disk）。图1为两个等光强的艾里斑从重叠到逐步分开的影像。
 

图1
 ​图2为最简单的双凸透镜显微系统示意图，我们可以看到：把物体靠近眼睛，可以增大孔径角（Angular Aperture）就可以增大在眼睛视网膜上的成像，也就是提高了分辨率。

图2

从光的波动属性分析，物体细节对光的波动的反射才是物体被观察到的根本原因。通过发射波长等于或者小于物体大小的波，它被反射回观察者。而被观测物可以被观测到的最小尺度就是1/2波长，小于这个尺度被观测物将无法反射光波，从而无法被观测。

图3
最终，阿贝博士得出的阿贝简单判定(Abbe Simple Criterion)为：

式中λ为使用光线的波长值，n为光路中透镜对介质的折射率系数，α为入射光束与透镜光轴间的夹角。

​但是在实际应用中，被测物体不是一个点而是一系列物点的集合。每一个物点经过有限直径的透镜后，在像平面上都会产生文中开头提到的艾里斑，如果两个物点的艾里斑重叠到无法分辨，我们则认为这两个物点无法被分辨，图4中让两个等光强的非相干点像逐步分开，当两个点像中心间隔等于艾里斑的半径R，这样的艾里斑可以被认为是物点可以被分辨的最小尺寸，这种不同于阿贝简单判定的方式叫做瑞利判定（Rayleigh Criterion）。
 

图4

那么我们来计算一下按照瑞利判定，可被分辨的艾里斑的半径（也就是可以被分辨的最小尺寸）与生成这个艾里斑的光波波长的关系。图5为原理示意图。
 

图5

中间演算过程涉及到冗长的傅里叶级数变换以及各种函数方程，最终计算结果为：

式中λ为使用光线的波长值，n为光路中透镜对介质的折射率系数，α为入射光束与透镜光轴间的夹角。

普通光学显微镜，为提高分辨率极限（使d 值降低），就需要从两个方面着手：

一、减小λ值

可见光的波长范围：390nm～760nm，取可见光的波长为较短数值λ=400nm时（相当于紫色光），d≈200nm=0.2μm，这基本上可认为是一般光学显微镜的最高分辨能力了。

图6
在可见光波段想要获得更好的分辨率极限，显微镜系统在设计时就要尽量选用蓝紫光线作为照明光源。

二、增大n•sinα的值，这个值也被标为NA值（数值孔径）

选用折射率的更大的介质，以及增大孔径角有助于提高显微镜的分辨率。显微物镜上都会标识NA值（如图6中标识NA值为0.055），同等放大倍率的物镜，更大的数值孔径可以获得更好的分辨率。

图7恩斯特·阿贝博士是耶拿最有名的物理学家、光学家，在人类历史上留下的宝贵财富远不止阿贝公式。还有阿贝正弦条件，阿贝数，阿贝最早在蔡司推行了8小时工作制，成为现代雇员保障制度的先导者。为了纪念阿贝博士的伟大贡献，位于月球背面的一座大约形成于30多亿年前的撞击坑被命名为阿贝环形山。在耶拿，卡尔蔡司，恩斯特阿贝，以及奥托肖特三人被称为耶拿三杰，也代表着德国光学之城耶拿的辉煌成就。